Vol. XVII - N° 1/2, Varia
Approche géométrique des centuriations romaines. Les nouvelles bornes du Bled Segui
Résumé
Les Romains, intéressés surtout par l'application pratique des connaissances techniques de la Grèce, ont porté à un haut degré la profession de géomètre-géodésien et leur plus grande centuriation connue, situé dans l'ancienne Africa Nova, en est un exemple parfait. Le cadastre étant par nature une construction géométrique, il est possible à partir de ses bornes gromatiques de reconstituer le carroyage et de tenter d'en comprendre ses principes. On examinera d'abord les constructions géométriques candidates pour cette centuriation tunisienne, puis à partir des nouvelles découvertes faites près du Chott el Fejej, on proposera des solutions. On étudiera ensuite certaines méthodes d'orientation et de construction de ces carroyages qu'on confrontera aux tracés relevés sur le terrain. Enfin, on envisagera les perspectives offertes par ce monument géographique tant pour retrouver d'autres témoins en place que pour une meilleure compréhension des sciences et des techniques cadastrales dans l'Antiquité.
Abstract
Geometrical Approach to Roman Centuriation. New Gromatic Stones of Bled Segui. The Romans, principally interested in the practical application of Greek technical knowledge, developed geodesic surveying to a high degree and their largest known centuriation, situated in the ancient province of Africa Nova is a perfect example. Since the cadastre relies on a geometrical layout, it is possible to reconstruct the grid and try to understand its principles. We first examine the geometrical constructions that could have served for centuriation in Tunisia before proposing solutions based on new discoveries made near Chott el Fejej. We go on to study certain methods for orienting and constructing the grids which we compare with the lines plotted on site. Finally, the perspectives opened up by this geographical monument are considered from the points of view of both to find other stones in place and that of better understanding cadastral science and techniques in antiquity.
Table des matières
Texte intégral
La « centuriation » [centuriatio] consiste en la délimitation d'un territoire [limitatio] d'une certaine ampleur, ce qui la différencie d'un lotissement agricole local (partage d'une terre) ou d'une « castramétation » (construction d'un camp ou d'une ville). Ces trois spécialités bien qu'utilisant des principes semblables n'ont pas la même finalité. En d'autres termes, c'est différencier l'œuvre du géodésien-géomètre, de celle de l'arpenteur-harpidonapte ou encore de l'aménageur-architecte. Les cadastres sont par nature des constructions géométriques. Or, selon le philosophe M. Serres1 :
« Il n'y a d'histoire vraie que de la géométrie, voie de communication quasi parfaite, cas exceptionnel et sans doute paradoxal, de l'histoire au sens ordinaire. Plus un savoir va vers le pur et le rigoureux, mieux il se conserve et plus aisément il transmet par le temps ses contenus inchangés ».
On devrait donc pouvoir par l'emploi de la géométrie euclidienne éviter, d'une part, les problèmes de la déformation du temps – qui s'applique aussi bien aux textes qu'aux parcellaires –, d'autre part, utiliser ses méthodes pures et rigoureuses pour analyser leurs contenus et établir des modèles géométriques prédictifs de recherche. C'est l'approche qui sera choisie pour clarifier au moins certaines pratiques.
1. Principes généraux : la géodésie géométrique
La science du finitor2, c'est l'art de mesurer la terre ou géodésie (du grec, γη δαιω = je divise la terre)3. Cette science appliquée touche aux mathématiques, à l'astronomie, à la métrologie et à la géographie, toutes disciplines qui interviennent dans l'art du finitor. Le but utilitaire de la géodésie est de déterminer avec le plus de précision possible les coordonnées d'un certain nombre de points (géodésiques), servant de charpente ou d'ossature aux levés topographiques pour l'établissement de la carte.
Pour ce faire, le géodésien moderne4 choisit sur le terrain des points élevés, visibles entre eux qu'il relie par des visées formant des triangles dont on mesure les angles. C'est le réseau de triangulation. Mais la mesure des angles ne suffit pas pour avoir la grandeur des figures, leur orientation et leur position sur la surface terrestre. Pour situer ce réseau géodésique sur la Terre, il suffit de déterminer les coordonnées géographiques d'un sommet de la triangulation au moyen d'observations astronomiques, c'est le point fondamental ou datum. On définit, ainsi, sa latitude géographique ou astronomique et sa longitude repérée par rapport à un méridien d'origine (méridien de Greenwich). De plus, pour orienter le triangle de base (ABC), on doit mesurer l'azimut géographique d'un de ses côtés (de A vers B). Enfin, pour connaître les longueurs, on choisit une base rectiligne assez grande que l'on mesure au sol le plus précisément possible et que l'on incorpore au réseau de triangulation. On peut, alors, calculer la longueur de tous les côtés connaissant leurs angles au sommet. Ainsi, de proche en proche, chaque point géodésique est parfaitement déterminé.
En Tunisie (cf. Figure 1, pour l'ancienne triangulation), le point fondamental ou datum est Carthage (la cathédrale Saint-Louis), la base a été mesurée dans la plaine de Tunis et l'ensemble du territoire est couvert par un réseau de triangles. Il existe, ainsi, un réseau dit de premier ordre dont les sommets sont des points culminants régionaux. Distants en moyenne de quelques dizaines de kilomètres, ils prennent appui généralement sur des stations astronomiques. Ensuite, vient se greffer un canevas plus serré, par des réseaux de 2e et 3e ordre, etc. En général, les réseaux de 2e et de 3e ordre sont observés en triangles complets. Le calcul par juxtaposition de triangles entraîne nécessairement une propagation des erreurs angulaires ; celle-ci est compensée régulièrement par une réorientation (triangles d'orientation5). De la même façon, il y a propagation des erreurs de distance ; il est donc nécessaire d'arpenter une nouvelle base (base de Médenine dans le Sud tunisien6). Ces principes ayant été rappelés, qu'en est-il des méthodes utilisées dans l'Antiquité ?
Figure 1. La triangulation de la Tunisie (source : IGN) [cliquer pour afficher]
Les centuriations romaines
Les principes généraux de construction des centuriations sont connus, en partie, par certains textes anciens et par l'étude des parcellaires quadrillés. On rappellera très simplement que la limitation est un carroyage tracé sur le terrain à partir d'un point d'origine, le locus grom e, selon un système d'axes orthogonaux kardo maximus et decumanus maximus orientés judicieusement dans l'espace. Ce quadrillage, carré ou rectangulaire, est construit selon une unité de longueur, un nombre entier de pieds (pes) ; il est matérialisé, sur le terrain, par des bornes ou des jalons. Ensuite, en fonction des besoins, le géomètre trace une voie, des limites de champs ou des frontières qui s'intègrent dans cette grille. Cet espace mesuré sur le terrain au sens géographique du terme est ensuite reporté sur une carte ou forma.
Ces principes sont comparables aux principes de notre géodésie classique. On dira que le locus gromae est le datum des Romains, que les axes majeurs (maximus) sont équivalents aux axes méridien et parallèle au point d'origine, que leur orientation correspond à l'azimut géographique du triangle de base et que le carroyage romain est à rapprocher de la triangulation. On devrait donc pouvoir, pour chaque parcellaire, définir ses quatre paramètres fondamentaux : les coordonnées du locus gromae (longitude et latitude), l'azimut de son orientation (par rapport au nord géographique), et son module linéaire : le côté de la centurie (2 400 pedes ou 20 actus).
à partir des vestiges du parcellaire quadrillé, il est possible de reconnaître une centuriation sur le terrain selon deux méthodes :
- Première méthode : la mise en évidence au moyen de cartes, de vues aériennes ou spatiales du carroyage faisant apparaître des alignements récurrents et orthogonaux. Cette étude est suivie, en général, d'une vérification approfondie sur le terrain. C'est la méthode la plus fructueuse et la plus pratiquée.
- Seconde méthode : la découverte de bornes de délimitation placées par le géomètre. C'est la méthode la plus fiable mais aussi la plus rare, la plupart des bornes ayant disparu ou ayant été déplacées. On ne connaît à ce jour qu'un seul exemple avéré, la grande centuriation tunisienne.
Les interrogations
La liste des centuriations répertoriées dans l'ancien monde romain ne cesse de s'allonger et plusieurs atlas de ces centuriations ont été établis7. Cependant, on ne peut pas dire que tous ces cadastres sont parfaitement définis, en particulier la localisation formelle du locus gromae est très rare. Elle reste encore hypothétique pour les cadastres d'Orange ou de Campanie alors que des éléments d'une forma ou d'une borne écrite8 ont été retrouvés. De la même façon, il est souvent difficile d'annoncer avec certitude dans la lecture d'un tracé de lignes orthogonales sur une carte ou sur le terrain, lequel de ces alignements représente le kardo maximus, comme il existe une part d'arbitraire dans la définition de son azimut. Les textes anciens sont parfois contradictoires à ce sujet : kardo orienté vers l'est ou l'ouest ? Decumanus vers le sud ou selon la plus grande distance ? Cadastre « retourné » 9 ? Enfin, et ceci n'est pas la moindre des difficultés, l'unité de longueur utilisée pose problème, la centurie pouvant varier de 700 à 710 m, voire au-delà selon la valeur du module de 20 actus.
Autant les méthodes de travail des géodésiens modernes paraissent claires et rigoureuses – elles s'appuient nécessairement sur une longue expérience –, autant certaines méthodes utilisées par les arpenteurs romains du moins telles qu'elles sont parfois exposées, semblent approximatives, irréalistes ou simplement contradictoires. On tentera, donc, de clarifier au moins certains points en s'appuyant sur la grande centuriation de Tunisie.
2. La grande centuriation tunisienne
Cette centuriation a une extension de 254 km de long sur 110 de large, c'est-à-dire qu'elle occupe une superficie équivalente à tout le Languedoc. Elle s'étend de la région d'Ammaedara (Haïdra), aux confins tuniso-algériens, jusqu'aux frontières (limes) méridionales de la Proconsulaire, au sud-est de la région des grands Chotts (cf. Figure 2). Elle a été réalisée par la IIIe légion Augusta stationnée justement à Ammaedara, et elle aurait été exécutée par le proconsul de l'Afrique romaine C. Vibius Marsus, sous le règne de Tibère10. Cette centuriation est connue pour l'essentiel11 par des bornes gromatiques trouvées en place par des officiers topographes. Elle s'apparente nettement à des travaux géodésiques ou à un levé de carte d'état-major réalisé par des militaires aux marches de leur Empire.
Figure 2. Carte de la grande centuriation : ses axes cardinaux et son carroyage [cliquer pour afficher]
Les travaux antérieurs
On doit au capitaine Donau12, le commandant du cercle de Kebili et à ses officiers topographes, lesquels étaient chargés de dresser la carte de ce territoire, la découverte des premières bornes autour du chott el Fejej. À la suite d'une interprétation erronée des textes gromatiques, Toutain13, qui rapportait ces découvertes en 1905, était arrivé à une conclusion surprenante : l'origine de ce cadastre se trouvait, selon lui, en plein désert saharien. Il s'engageait, alors, dans une polémique stérile avec Barthel et Davin et il rejetait ainsi la seule borne trouvée près de Graïba et placée sinistra decumani qui lui aurait permis de corriger ses erreurs14.
Barthel, en revanche, constatant que cette borne se trouvait sur le même cardo (uk 265) qu'une autre borne (B.10) située dextra decumani (dd 80), arrivait à une conclusion toute différente15. Son locus gromae se situait non loin de Thala (cf. Figure 2), à environ 18 kilomètres au nord-est d'Ammaedara, le camp d'hiver des centurions géomètres. Il levait ainsi l'ambiguïté de Toutain en orientant le kardo maximus à 37° E-N-E. Son œuvre est remarquable, tant du point de vue géographique et gromatique que du point de vue historique. Cependant, sa construction géométrique souffrait d'une localisation approximative des dix-huit bornes alors connues, dont les distances avaient été mesurées « au pas du cheval du capitaine Donau ».
Aussi Davin, un ingénieur géographe, s'est-il attaché à localiser de façon précise cinq de ces bornes au moyen d'un théodolite16. Il estimait que le locus gromae se situait, non plus en plaine, mais au sommet d'une montagne, le Bou el Hanèche17, non loin de l'origine présumée de Barthel avec un orientement des axes majeurs à l'E-N-E de 39,02 gr (35,1°) et une valeur de la centurie comprise entre 703 et 710 m. Ces importants résultats étaient pratiquement confirmés par Legendre qui, à partir du mémoire Davin, avait refait les calculs et qui tentait aussi de trouver une raison astronomique (solaire ou lunaire) à cette orientation particulière, mais sans pouvoir conclure18. Il constatait simplement qu'il n'y avait rien de particulier sur le sommet du Bou el Hanèche, sinon un marabout.
Des doutes sur une origine située au sommet d'une montagne étaient à nouveau émis par Chevallier qui remarquait que le cadastre d'Ammaedara avait une orientation de 25,2° au N-E et celui de Sufetula de 32° 19, et qu'elles étaient donc différentes de celle de la centuriation. Trousset, dans sa synthèse des travaux précédents, pensait que l'origine devait se situer en terrain plat et il adoptait une « déviation légère » dans l'orientation de Davin et une « valeur plus élevée » de la centurie en prenant 710 m. Il estimait enfin que « les mensores ont tiré droit vers le fond de la petite Syrte et que cette orientation a une signification militaire et politique et non une signification astronomique » 20.
Les travaux de Davin, bien que plus précis que ceux de Barthel, s'appuyaient sur un nombre limité de bornes dont certaines n'étaient plus en place. Malgré toute la rigueur de ses calculs, ils étaient entachés d'incertitudes non négligeables. La question fondamentale de l'orientation du carroyage et de son maintien sur de si vastes espaces n'était toujours pas résolue. Pour tenter de reconstituer avec plus de précision ce carroyage, il faut, d'une part augmenter l'échantillonnage et, d'autre part, se baser sur une référence géographique plus fidèle qu'un support de carte à moyenne échelle. On dispose, de nos jours, de techniques faciles à mettre en œuvre pour localiser géographiquement avec précision un élément, c'est le GPS. De plus, le carroyage étant une construction géométrique, il est possible de bâtir un modèle mathématique, c'est-à-dire un outil prédictif qui permet de localiser une borne à partir de ses coordonnées romaines, et, inversement, de reconstituer ses coordonnées à partir de sa position mesurée. à partir de ces travaux préparatoires, plusieurs campagnes de recherches ont été menées sur le terrain afin de poursuivre le travail de Donau et de Davin.
Les bornes gromatiques tunisiennes
Barthel avait dressé une liste des dix-huit bornes signalées par Donau dont certaines (3, 13, 16) paraissaient douteuses sur le plan gromatique21. Davin avait ensuite complété cette liste en en stationnant cinq (1, 9, 14, 18, 20) avec précision et il avait recherché, en vain, la borne 19 signalée par le capitaine Lafond22. Cette liste a été reprise par Trousset qui a proposé certaines corrections, en particulier une relecture de la borne 17 qui est discutable, compte tenu de sa position géographique incertaine. Cette borne n'a jamais été revue23. Plus récemment, il a rapporté la découverte fortuite d'un bornage de Vibius Marsus trouvé près de Gabès, document qu'il n'a visiblement pas pu intégrer dans le carroyage romain24. Sa seconde lecture serait presque conforme si la « grille cadastrale de Barthel » admettait de larges déformations pour intégrer son inscription25.
Une majorité de ces bornes ont été retrouvées, stationnées et étudiées26. Outre les cinq bornes stationnées par Davin, la borne 19 qu'il recherchait a été retrouvée et sa lecture corrigée. Certaines bornes signalées par les officiers ont été stationnées (7, 4, 2, 6B) et leur lecture complétée. Cinq documents inédits ont été découverts 27 qui complètent la liste initiale de Barthel : N, 22A et 22B, 23, 24 et 25. La borne N est particulière. C'est un milliaire de même facture que les gromatiques, ayant valeur de quintarius, mais elle n'a pas été introduite dans la modélisation. Enfin, une lecture attentive du document de Gabès (21) ainsi qu'une analyse a permis de le replacer dans son contexte groma tique 28. Tous ces documents sont répertoriés dans un catalogue général 29 qui présente par secteur géographique tous les éléments signalés ou trouvés avec leurs références, leur découvreur, les renseignements déjà publiés, les informations nouvelles touchant l'épigraphie, le descriptif et la localisation précise, ainsi qu'un ensemble de photos, cartes, et tableaux. Ces renseignements sont synthétisés dans un tableau (cf. Annexe 1) et sur la Figure 3.
Figure 3. Les bornes retrouvées autour du Chott el Fejej [cliquer pour afficher]
Les bornes du Bled Segui
On dispose de six bornes pour cette région (cf. Figure 3), auxquelles s'ajoutent des mesures précises de distance et de gisement au moyen d'une station totale 30 entre deux de ces bornes. Elles sont taillées dans la même roche, un calcaire à petits fossiles spiralés de couleur ocre clair qui sonne clair au choc, et reconnaissables par leur taille et leur facture (cf. Figure 3).
Borne 22. Les fragments de la borne 22 ont été retrouvés en deux endroits distants d'environ 250 m. Le premier (22A) qui contient un cadre écrit est facilement identifiable : DD LXX(V) / VK CCL (cf. Illustration 1). L'autre partie (22B), qui est son embase, correspond à sa meilleure position géographique théorique.
Illustration 1. Borne 22A et son cadre

Borne 24. Ce terminus est particulier puisqu'il ne comporte pas comme pour les autres bornes deux lignes de coordonnées chiffrées, mais douze lignes de texte pratiquement illisibles. Sur la tranche supérieure, le decussis aussi est particulier : pas de croix, mais cinq cupules bien visibles dont deux assez profondes reliées par un trait parallèle à l'arête. La question de savoir si cette pierre est une borne groma tique, ou pas s'est donc posée. Cette borne (cf. Illustration 2) se situe à l'entrée du long couloir (O. Halfaya) qui conduit vers l'Ouest à la dépression du chott el Rharsa et aux rivages nord du chott Jerid. Elle se place, en outre, à l'entrée d'une piste chamelière qui traverse la ligne de crêtes par un petit collet (clausura). Cette position stratégique à l'extrémité du gouvernorat de Kebili marquerait-elle donc une limite de territoires à cette époque ? La présence de clausura (Bir Oum Ali, khanguet), burgus (Hr Semmah Si Ahmed) à son pied ferait pencher pour une telle hypothèse, ce qui pourrait expliquer la présence d'un long texte.
Illustration 2. Borne 24 avec ses douze lignes de texte

Bornes 25 et 23. Ces deux bornes à decussis et cupules (cf. Illustrations 2 et 4) portent le signe > II sur leur face frontale. Le signe > signifierait « centurie » d'après Barthel et Trousset31. On a retrouvé ce signe (>) sur de nombreuses bornes : la B18, la B21, mais aussi sur la 6B (> L (V) II.), la B4 (> II / çIII) et la 5 (> III). Selon Barthel, pour cette dernière, l'inscription « signifierait la 3e rangée de centuries du saltus, située sur le même kardo ». Dilke note que ces bornes « pourraient être considérées comme centuries, si elles sont de bonne taille », ce qui est le cas32. Ces deux termini sont situés au pied de la montagne, c'est-à-dire en limite de zone centuriée ; ce serait donc des bornes subsécives (subsecivum).
Illustration 3. Borne 25 au pied du bordj de Bir Oum Ali

Illustration 4. Borne 23 et son decussis

Le carroyage
Parmi la vingtaine de bornes gromatiques (cf. Annexe 2), une quinzaine portent inscrites en toutes lettres leurs coordonnées romaines [dd (dextra decumani) ou sd (sinistra decumani), uk (ultra kardinem)]. Il n'y a donc aucune ambiguïté sur les axes principaux et leur orientation, ils sont parfaitement définis dans l'espace : le kardo maximus est orienté E-N-E, et le decumanus maximus S-S-E (cf. Figure 2). à partir des coordonnées géographiques et romaines, on recherche par un modèle mathématique la meilleure superposition entre les deux réseaux. Le modèle est bâti sur deux orthodromies selon le decumanus et le kardo . On calcule les coordonnées cartographiques théoriques en fonction des coordonnées romaines pour un jeu de 4 inconnues (latitude et longitude du point origine, angle d'orientation a, module de la centurie), qu'on compare aux valeurs géographiques connues et on réitère jusqu'à minimiser l'écart moyen.
Tableau 1. Paramètres du carroyage calculés
Origine : | latitude 39, 672 gr | N 35° 42,262' |
(locus gromae) | longitude 7,095 gr (méridien Paris) | E 8° 43,216' (WGS 84) |
Centurie | c = 704 m (pes = 0,293 m) | |
Orientation | a = 35,2° (Co-a = 54,8°, azimut du K.M.) |
Ce carroyage orthonormé a pour locus gromae, un point origine (0,0) 33 situé dans la plaine du Saltus Massipianus au nord de Thala, non loin de la Table de Jugurtha et d'Ammaedara. Formellement, cette origine d'arpentage n'a pas été reconnue, mais soupçonnée34. De la même façon, son orientation a sensiblement égale à 35° laisse à penser que les observations astronomiques auraient été conduites sur la Table de Jugurtha 35, observatoire remarquable placé justement au-dessus du camp de la 3e Legio Augusta (Ammaedara). Dans ce cas, le kardo maximus est orienté globalement en direction de Carthage (cf. Figure 2).
Par analogie avec les concepts de la géodésie géométrique, on dira que le datum, point d'observation astronomique se situe sur la Table de Jugurtha, que les axes cardinaux parallèle et méridien correspondent aux axes principaux kardo et decumanus maximus mais orientés géographiquement à 35°, que la base d'arpentage se situe dans la plaine du Saltus Massipianus et que le réseau de triangulation est la grille romaine orthonormée. La centuriation tunisienne est donc globalement définie (cf. Figure 4).
Figure 4. La forma de la centuriation [cliquer pour afficher]
Figure 5. Réseau centurié du chott el Fejej [cliquer pour afficher]
Figure 6. La grille et la groma 5/7

3. Étude géométrique
Étude globale
Legendre avait tenté de trouver un justificatif à l'orientation qu'il avait calculée (35,1°) en recherchant un lien avec le soleil au solstice d'été et les phases de la lune, sans pouvoir conclure36. L'orientation obtenue par le modèle (35,2°) est plus certaine, puisqu'elle est calculée sur un plus grand nombre de points localisés avec plus de précision, mais la difficulté réside dans la nature même du problème. D'une part, les bornes sont très éloignées de l'origine. Or, on ne sait pas exactement comment les gromatici opéraient. Suivaient-ils une orthodromie ou une loxodromie 37 ? ou bien une combinaison des deux ? Quelle est la part de la propagation de leurs erreurs ? Et celles de nos propres erreurs ou approximations ? D'autre part, les hypothèses qui pourraient être formulées conduisent à des orientations très proches les unes des autres, avec une nuance angulaire de 0,2° (cf. Figure 7). Cette précision est, à ce jour, rarement envisagée si l'on se réfère à la remarquable étude de M. Guy38 sur l'orientation générale des cadastres où il constate un décalage systématique de 2° qu'il ne peut expliquer.
Le principe de construction du carroyage par une grille losangique calée sur le méridien dont le rapport est 7/10 a été proposé39. Il conduisait à une orientation solaire de 35° (arctg 7/10 = 34,992°, cf. Figure 4) voisine de la valeur trouvée qui se situait entre 35° et 36°. Sur le même principe, deux autres constructions candidates sont proposées (voir infra), à savoir une grille losangique 5/7 calée sur un parallèle (cf. Figure 6) qui conduit à un angle de 35,538° et une grille orthogonale √2/2 dont l'angle d'orientation est de 35,264°. Ces trois angles sont proches de la valeur trouvée.
De la même façon, deux lectures des valeurs romaines inscrites ont été examinées :
1 - leurs coordonnées stricto sensu en centurie dans le système orthogonal K0, D0 ;
2 - le numéro du limes, c'est-à-dire leurs coordonnées théoriques dans la grille losangique. La borne est à l'intersection de deux diagonales et ses valeurs sont parfois fractionnaires.
Exemple :
La borne 21 a pour coordonnées : dd = 40 ; uk = 330 dans le référentiel K0, D0, mais
dd = 40 1/4 ; uk = 330 dans la grille losangique
(cf. Figure 5).
D'où les différents cas suivants :
1. Les 4 paramètres sont libres, les coordonnées romaines sont les valeurs inscrites.
2. Les 4 paramètres sont libres, les valeurs sont les numéros du limes. Elles sont calculées à partir des paramètres n, m ( p, q) (cf. Annexe 2).
3. L'orientation a est fixée (7/10), les coordonnées romaines sont les valeurs fractionnaires correspondantes.
4. L'orientation a est fixée (5/7), les coordonnées romaines sont les mêmes valeurs fractionnaires.
5. L'orientation a est fixée (√2 /2), la valeur cardinale dd est multipliée par √ 50/49 (*1 %).
6. L'orientation a est fixée (√2 /2), les coordonnées romaines sont des valeurs fractionnaires.
On détermine ainsi la valeur moyenne de la centurie et l'écart moyen constaté sur toutes les bornes. À titre d'exemple, sont donnés dans le tableau synthétique ci-dessous les écarts type en longitude et en latitude pour une borne du Chareb (B1) et pour une borne du Bled Segui (B19).
Tableau 2. Écarts-types
Modèles | Angle α ; | écart moyen | Chareb. Borne 1 | Bled Segui. Borne 19 |
α libre, val. inscrites | 35,190° ; 704 m | 164 | -62 ; -3 | +160 ; -120 |
α libre, n° limes | 35,200° ; 704 m | 211 | -37 ; +17 | +180 ; -110 |
α ~7/10, n° limes | 34,992° ; 704 m | 225 | -80 ; -31 | +215 ; -80 |
α ~5/7, n° limes | 35,538° ; 704 m | 224 | +25 ; +100 | +130 ; -160 |
α ~√2 /2, dd*1 %, uk | 35,264° ; 703 m | 197 | -13 ; +68 | +135 ; -165 |
α ~√2 /2, n° limes | 35,264° ; 704 m | 210 | -25 ; +32 | +170 ; -120 |
Figure 7. Conjugaison des grilles 5/7 et 7/10

L'écart moyen, dans tous les cas et pour toutes les bornes, est d'environ 200 m. On note que la valeur moyenne de la centurie reste toujours sensiblement égale à 704 m et que les valeurs gravées en dd, uk s'appliquent strictement à la grille romaine, même si l'on suppose avec vraisemblance que les géomètres ont utilisé le principe des visées diagonales. On retiendra, cependant, que cette méthode ne permet pas de lever les ambiguïtés : les trois angles d'orientation paraissent tous vraisemblables. Elle permet ainsi d'apprécier les coordonnées romaines des deux bornes subsécives B23 et B25, donc de mieux comprendre la signification du signe > II. On trouve les valeurs suivantes :
B23 : dd = 75,2 ; uk = 252,2 et B25 : dd = 95,5 ; uk = 232,5.
Maintien de l'orientement
L'épigraphie de la borne 24 n'a pu être déchiffrée. Sa nature, sa facture et sa position laissent à penser qu'elle est gromatique. On a donc déterminé ses coordonnées par le modèle général et par comparaison avec ses voisines B19 et B20.
Tableau 3. Les coordonnées de la borne 24
Bornes | B24 | B20 | B19 |
x(m) UTM | 512 325 | 518 160 | 524 150 |
y(m) UTM | 3 779 190 | 3 779 350 | 3 779 430 |
dd | 98 | 91 | 84 |
uk | 230 | 235 | 240 |
Les coordonnées sont données dans le système UTM (fuseau 32) qui traduit directement les distances en mètres. On obtient ainsi les écarts inter bornes :
Δ (B24- B20) = 5.840 m et Δ (B20- B19) = 5.990 m,
d'où les intervalles sur les axes majeurs Δ dd = 7 ; Δ uk = 5,
et les coordonnées calculées : dd 98 et uk 230.
Ces trois bornes « quintarii » se situent sur un quasi-parallèle (34° 09,28' ou ligne p = 30 dans la grille 5/7, cf. Figure 8). Le géomètre a donc maintenu l'orientation solaire – ici l'est – avec une marge d'erreur inférieure à 0,1' sur près de 12 km. L'orientation solaire est indubitable et sa précision de l'ordre de 0,86°. Cet alignement de bornes sur un quasi-parallèle géographique est un argument majeur de l'orientation solaire de cette centuriation (cf. Figure 8).
Figure 8. La forma du Bled Segui et la grille 5/7 [cliquer pour afficher]
Étude des bornes 19 et 23
Ces deux bornes étant en place, leur distance et leur azimut ont été mesurés au moyen d'un théodolite électronique Sokkia (cf. Illustration 5) et de récepteurs GPS.
Les résultats sont les suivants :
- Distance B19 - B23 = 10 654,8 m +/- 3m,
- Azimut Az (/NG) B19-B23 : 110° 31' +/- 6' (109,52° +/- 0,10°) 40.
Ces mesures sont très précises, elles devraient donc permettre de faire la différence dans les nuances angulaires (0,2°) entre les différentes grilles.
L'épigraphie de la borne B19 est claire (dd 84, uk 240), mais la lecture de la borne subsécive B23 (> II) peut s'interpréter de deux façons :
> II se lit « deuxième centurie », c'est l'interprétation de Barthel et, dans ce cas, les coordonnées dans la grille orthogonale sont : B23 (75 ; 252),
> II se lit « deuxième limes », c'est-à-dire la deuxième diagonale du Saltus et, dans ce cas, les coordonnées dans la grille losangique sont : B23 ( 75,25 ; 252,5). Ces valeurs sont identiques pour les deux grilles : méridienne (m = 7 1/4, n = 18) ou parallèle (p = 30 5/8 ; q = 19 7/8) (cf. Figure 8) et comparables à celles obtenues par le modèle global (cf. supra).
On calculera l'azimut théorique du segment B23-B19 dans le carroyage romain, selon les trois grilles concurrentes qu'on comparera à l'azimut mesuré. L'azimut dans la forma (cf. Figure 8) s'obtient facilement. On calcule, d'une part, l'orientation θ du segment B19-B23 dans le triangle rectangle EIG (grille romaine), d'autre part, on connaît l'orientation du carroyage par rapport au Nord Géographique Romain 41 (NGR), ici l'azimut du cardo (Co-α ). On déterminera, ensuite, la valeur de la centurie, compte tenu de la distance mesurée.
a) Grille orthogonale classique
Le triangle EIG (cf. Figure 8) est pythagorique (9- θ 12-15), avec θ = arctg (12/9) = 53,130°, et l'orientation du cardo est Co-a = 54,736°. D'où l'azimut du segment B19 - B23, Az = 53,130 + 54,736 = 107,866°. Pour la centurie, on trouve c = 710 m +/- 3 ‰.
b) Grille orthogonale rectangulaire
Toujours dans le triangle EIG, θ = arctg (12/ 9*1,010) = 52,851°. L'azimut de la grille Co-α = 54,736°. D'où Az = 52,851 + 54,736 = 107,587°. La centurie est égale à c = 707 m +/- 3 ‰.
c) Grilles losangiques
Dans le triangle EIG, l'angle de l'hypoténuse EG a même valeur dans les deux grilles losangiques : θ = arctg (2,5/ 8,75 = 10/7) = 55,008°. à cet angle, s'ajoute l'orientation de la grille : Co-α = = 55, 008° pour la grille 7/10, ou Co-α = 54,462° pour la grille 5/7. D'où les deux azimuts respectivement 110,016° et 109,470°. La centurie prend ici la valeur unique de c = 698 m +/- 3‰.
Tableau 4. Synthèse
Azimut B19-B23 | Grille losangique méridienne | Grille losangique parallèle | Grille orthogon. Classique | Grille orthogo. Rectangulaire |
Orientation du cadastre Co-α | 55,008° | 54,462° | 54,736° | 54,736° |
Lecture B23 (> ii) | 2e Limes | 2 e Limes | 2 e Centurie | 2 e Centurie |
∆dd / ∆uk dans EIG | 12,5 / 8,75 = 10 / 7 | 12,5 / 8,75 = 10 / 7 | 12 / 9 | 12 / 9* 1,010 |
Orientation B19-B23 dans EIG | 55,008° | 55,008° | 53,130° | 52,851° |
Az / NGR (°) | 110,016° | 109,470° | 107,866° | 107,587° |
∆ (Az mesuré - Az/NGR) | - 0,496° | + 0,05° | + 1,654° | + 1,933° |
Conclusion | Possible | Acceptable | Non acceptable | Non acceptable |
Valeur de la centurie c. (m) | 698 +/-3 ‰ | 698 +/-3 ‰ | 710 +/-3 ‰ | 707 +/-3 ‰ |
En résumé, la valeur de la centurie est toujours acceptable. Elle n'est pas un critère de choix compte tenu de la dispersion généralement admise sur cette grandeur. En revanche, tous ces azimuts théoriques sont à comparer à la mesure angulaire Az = 109, 52°+/- 0,1°. D'où les conclusions suivantes :
- Les grilles orthogonales carrée ou rectangulaire ne conviennent pas.
- En revanche, les deux grilles losangiques répondent au problème et le modèle global donne justement une orientation (35,2°) comprise entre ces deux valeurs (34,99 et 35,54°). Cependant, la grille 5/7 offre de meilleurs résultats et l'alignement des trois bornes du Bled Segui sur un parallèle, qui ne semble pas fortuit, conforterait cette orientation. Il reste que cette mesure très précise d'azimut est unique, et qu'elle mérite d'être confirmée par d'autres résultats expérimentaux.
4. Question de méthodes
On se propose, après l'étude numérique et géométrique de cette centuriation, d'examiner les méthodes de cadastration telles qu'elles sont présentées à partir des divers textes du Corpus Agrimensorum.
Méthodes de mesure
Les outils et les instruments de mesure sont abordés dans les ouvrages généraux ou spécifiques42. Certains ont été retrouvés ou reconstitués, et leur mise en œuvre est d'un intérêt certain puisqu'elle permet de se confronter aux problèmes techniques réels tels qu'ils se présentaient au géomètre43. Les premiers exercices de topographie avec une groma 7/10 (cf. Illustration 6) démontrent qu'on progresse sans grande difficulté par triangulation à partir d'une base et ensuite par visées uniquement. Schématiquement, on peut dire qu'il existe deux classes de mesure : la mesure linéaire, la mesure angulaire.
La mesure linéaire entraîne une double opération : la visée pour l'alignement plus un arpentage au sol pour la mesure, c'est-à-dire un transport de la règle (perche, cordeau). L'arpentage systématique à la perche entraîne des opérations de nivellement44 qui seraient, dans la pratique, tout à fait illusoires, alors que les méthodes de planimétrie sont courantes avec une alidade. Il est évident que si les géomètres pratiquaient ces méthodes de nivellement, les courbes de niveau ou les altitudes seraient portées sur leur forma, ce qui n'est jamais le cas pour les marbres d'Orange, les cartes romaines ou les vignettes qui nous sont parvenus. Dans les zones accessibles, le transport de la perche est toujours possible, mais en terrain montueux (cf. Illustration 5), il devient vite irréalisable45. C'est la raison pour laquelle les géodésiens choisissent toujours une plaine ou une route suffisamment plane et rectiligne pour établir leur base. Pour l'inaccessible, la vue seule se charge du déplacement, d'où l'angle de visée.
Illustration 5. Relevés topographiques au théodolite


« Si tu ne peux mesurer, démontre », dit le géomètre latin et Auguste Comte nous rappelle :
« Nous devons regarder comme suffisamment constatée l'impossibilité de déterminer, en les mesurant directement, la plupart des grandeurs que nous désirons connaître. C'est ce fait général qui nécessite la formation de la science mathématique ».
Thalès avait mesuré la grande pyramide, non pas directement, mais par son ombre portée et par la similitude des triangles. Le fameux « fluminis varatio » de M. Iunius Nipsius46 utilisé par les finitores n'est pas autre chose que l'application du théorème de Thalès. Ainsi, la grande pyramide, le bateau, le signal ou la borne, inaccessibles à la mesure directe, au pas ou à la main qui tient la perche, devient accessible à la vue et au raisonnement pur. Nos anciens traités d'arpentage l'énoncent clairement :
« C'est par le moyen de la Trigonométrie que l'on mesure les distances qui sont inaccessibles. Or, on distingue deux sortes de ces distances, savoir, celles qui ne sont accessibles que par l'une de ses extrémités, et celles qui sont entièrement inaccessibles » 47
L'auteur traite des deux cas par la méthode de triangulation. On est ainsi passé de la métrique (l'art des harpédonaptes) à la géométrie (la science de la mesure de la Terre) par la figure et le raisonnement.
On devrait donc accepter le fait que les gromatici faisaient plutôt appel à des visées et au raisonnement qu'à des mesures linéaires systématiques pour dessiner leur grille. Cet argument plaide évidemment davantage en faveur de la planimétrie que du nivellement, de la triangulation que de la quadrangulation. Cette remarque n'enlève rien au fait que sur de courtes distances accessibles, en architecture ou en bornage de petites parcelles, il est plus commode de mesurer directement les distances et que les travaux de génie civil faisaient nécessairement appel aux techniques de nivellement. Aussi il serait bon de différencier dans le Corpus Agrimensorum les textes qui appartiennent à la science géodésique et ceux qui relèvent des techniques du génie civil ou de l'architecture.
Méthodes de construction du carroyage
La centuriation est bâtie sur un quadrillage carré ou rectangulaire. Pour simplifier, on dira que deux méthodes de construction ont été proposées :
- la méthode « traditionnelle » par quadrangulation. Le carré de base est construit en suivant les quatre côtés ;
- la méthode de la « diagonale » ou triangulation.
A. Roth Congés décrit parfaitement les deux méthodes à partir du corpus48 : la vérification par le refermement des quintarii par la méthode traditionnelle (quintarius claudere) et la construction de cadastre sur une diagonale en soulignant en outre un paradoxe apparent :
« Mais si le procédé d'articulation sur une diagonale semble avoir été très largement utilisé, on ne peut affirmer que tous les cadastres avaient été construits ainsi, et il est curieux de constater qu'au moins en première approche, les textes gromatiques n'en font pas état »49
L'auteur précise que les visées diagonales étaient couramment utilisées par M. Iunius Nypsius pour la « varation » d'un fleuve50. Cette méthode a été démontrée, en particulier, par A. Perez sur les cadastres de la Narbonnaise51 et par M. Assenat sur l'Uzège52 en signalant que les voies romaines rentrent parfaitement en diagonale dans le carroyage. Examinons donc son principe.
Le quadrillage normal K,D
Le carroyage de base le plus simple est la trame carrée. Pour construire et refermer un quintarius (carré de 5*5) selon la première méthode, on vise à la groma et on arpente avec des perches les quatre côtés d'un carré. L'opération est répétée pour chaque carré élémentaire constituant le quintarius. On comprend que ces opérations sont longues, répétitives et fastidieuses, d'autant qu'il n'est pas facile de porter bout à bout des perches sur un terrain irrégulier. C'est la méthode de quadrangulation.
La méthode de triangulation consiste à mesurer à la perche (ou au cordeau) un des côtés d'un triangle rectangle, à s'assurer par trois visées successives la fermeture et à calculer les deux autres côtés53. Il n'y a qu'une seule opération d'arpentage, exécutée dans ce cas-là sur le terrain le plus favorable, les autres triangles jointifs sont simplement déterminés par visée.
Tracé par la diagonale
Sur le terrain, la méthode la plus sûre permettant de tracer des parallèles et de construire un quadrillage est de partir sur les diagonales54. Cela revient à définir deux axes de progression, les deux diagonales ; en d'autres termes c'est opérer un changement d'axes. On peut donc construire une seconde grille carrée construite sur les diagonales. On retrouve le principe de la groma classique ou stella.
La diagonalisation généralisée
Le principe selon lequel le géomètre romain progressait sur le terrain en suivant une diagonale (méthode pro hypotenusa) a été formulé par certains chercheurs55. Or, parmi les bornes retrouvées autour du Chott el Fejej 56, on a noté qu'une série de bornes (10-11, 9, 1 et 12) sont pratiquement alignées selon une direction γ orienté à peu près à 70° par rapport au méridien (cf. Figure 3), ou encore que l'axe de progression est orienté à 35° sur le decumanus, exactement dans le rapport Δdd / Δuk = 7/10, où Δdd est la différence des valeurs cardinales entre deux termini, et Δuk la différence des valeurs décumanes.
Exemple :
Δ (B12-B1) = 70-56 /300- 280 = 7/10. Soit arctg 7/10 = 35° (exactement 34,992°). On peut aussi lire ces bornes de la façon suivante :
Borne 1 : dd = 70 = 7*10, uk = 280 = 5*56
Borne 12 : dd = 56 = 7*8, uk = 300 = 5*60
Les bornes de cette série ont leurs valeurs propres multiples de 7 et 5. Elles sont disposées, en outre, selon une progression arithmétique de raison r = √ (102 + 72) = √ 149. Dans le plan dd, uk (la forma, cf. Figure 4), cet axe g coupe la méridienne d'origine en un point G de coordonnées : dd = 133, uk = 190, et le decumanus D0 d'origine en un point I de coordonnées dd = 0, uk = 380. On obtient une figure géométrique remarquable, un triangle isocèle de base D0, dont un côté est le méridien d'origine et l'autre l'axe γ ; les angles au sommet sont égaux respectivement à 34,992° (arctg 7/10)57. Ce triangle isocèle OGI définit ainsi deux axes β0 et γ0, les diagonales à l'origine du rectangle 7 et 10 et symétriques aux axes cardinaux K0 D0. L'axe β0 est un méridien, c'est-à-dire qu'il est parfaitement orienté dans l'espace terrestre. Il est donc possible, comme pour le carré, d'étendre la méthode de la diagonalisation au rectangle.
La grille losangique méridienne 7/10
On pourrait donc dupliquer à partir de ses diagonales le rectangle 7 et 10 initial, c'est à dire choisir ces diagonales comme lignes de progression58 et reproduire à l'infini le rectangle initial (cf. Figure 4). En effectuant un changement d'axes classique, on peut exprimer les coordonnées des bornes selon les relations simples suivantes : dd = 7*(n-m) et uk = 10* (n+m)59, où n et m sont des entiers naturels, respectivement égaux à 19 au point I et de vecteur unitaire λ = √ 149 centurie.
Les bornes peuvent, donc, être numérotées dans le double système : (dd, uk) et (n, m). L'alignement remarquable des bornes du Chott el Fejej se retrouvent sur l'axe γ19. Sur la forma (cf. Figure 4), le triangle rectangle ONP a pour angles au sommet α = 35°. Par symétrie avec la méridienne, on obtient un quasi-losange 60 ONPM ayant certaines propriétés remarquables. Les côtés adjacents sont égaux deux à deux respectivement à 7 et 10 et les diagonales sont à angle droit comme dans un carré. Un des angles au sommet est de 70° (2* arctg 7/10) tandis que deux angles opposés sont droits.
La grille losangique parallèle 7/5
La grille losangique a été construite sur une direction privilégiée, la méridienne. Inversement, peut-on trouver une autre grille dont la direction serait un parallèle ? En effet, on a noté que les bornes 20, 19 et 24 se trouvent pratiquement sur un même parallèle, elles sont disposées selon un Δuk = 5, et un Δdd = 7.
Exemple : Δdd (B24 - B20) = 98 - 91 = 7 ; Δuk (B24 - B20) = 230 - 235 = 5.
Or, Δuk / Δdd = 5/7 avec tg 5/7 = 35,538°, valeur proche de l'angle α calculé (35,5°). On peut construire une seconde grille losangique telle que :
dd = 7* (p - q) et uk = 5*(p + q), où p et q sont aussi des entiers naturels.
Ici, l'axe δ(cf. Figure 6) est orienté selon un parallèle, et l'autre axe ξ selon une autre diagonale (équivalente à l'axe γ de la grille méridienne). Le vecteur unité est égal à l'hypoténuse du triangle rectangle 5 et 7 (√ 74). Les paramètres p et q prennent, alors, la valeur 38 au point I. On peut donc construire de la même faヘon, une grille losangique (cf. Figure 4) dont la surface unitaire est double du rectangle de base 7*5.
Comparaison des grilles losangiques
On notera que la surface des losanges élémentaires sont dans le rapport 2. Dans un cas, on progresse selon une diagonale égale à √ 149/2 et dans l'autre sur la diagonale √ 74 (le rapport est presque égal à √ 2). Les deux grilles losangiques sont parfaitement conjuguées, c'est-à-dire que toute borne « quintarius » correspond toujours à un nœud principal des deux grilles. On dira que ses distances dd, uk s'expriment de façon univoque en fonction des paramètres (m, n) ou (p, q). Il est évident que tous les nœuds des mailles élémentaires ne coïncident pas, mais toutes les bornes de la centuriation se situent sur un nœud commun aux deux grilles, leurs coordonnées théoriques ayant la même valeur (cf. Figure 7). Cependant,
- la grille losangique 7/10 est orientée par référence au Decumanus Maximus, il fait un angle de 35° par rapport à la méridienne,
- la grille losangique 5/7 est orientée par référence au Kardo Maximus, il fait un angle de 35,5° par rapport au parallèle.
On privilégie dans un cas le Kardo Maximus et l'orientation vers l'est, et, dans l'autre cas, le Decumanus Maximus et l'orientation vers le sud. Mais il est impossible de déterminer à ce stade, compte tenu de l'orientation calculée (35,2°), quelle grille losangique les finitores auraient retenue. La nuance vient de la faible variation de l'orientation de la centuriation : 34,992° et 35,538°, différence angulaire inaccessible aujourd'hui à la précision de nos relevés et de l'incertitude que nous avons sur la route (loxodromique ou orthodromique) empruntée par ces géodésiens. Les deux grilles conviennent dans les deux cas, avec une préférence pour la grille 5/7.
Grille rectangulaire √ 2 /2
Dans la conjugaison des deux grilles, on remarque que l'angle entre l'axe OP (parallèle) et l'axe OM (méridien) est égal à : arctg 7/5 + arctg 7/10 = 89, 454°. Cet angle est presque droit (90°), ce qui confirme que les deux grilles ne sont pas exactement interchangeables. C'est soit l'une, soit l'autre. D'oン la nouvelle proposition d'une grille rectangulaire telle que OP et OM soient perpendiculaires. Dans ce cas, on peut construire une grille rectangulaire de côtés √ 150 et √ 75, de demi-angle au sommet α tel que
tg α = √ 2/2 = 35,264°.
On a aussi les relations remarquables :
cos α = √ 2/3 , sin α = √ 1/3 et √ 2 /2 = sin 45° = cos 45° (diagonale du carré).
Les côtés du rectangle sont dans le rapport √ 2 [√ 150 = 2 * √ 75], c'est-à-dire que le rectangle dont la surface est moitié a même côté que l'autre. Aujourd'hui, on dirait qu'on passe du format A3 au format A4 en divisant par 2 la surface initiale.
L'approximation de √ 2. L'extraction des racines des équations du second et du troisième degré était connue des premiers mathématiciens, en particulier, la valeur de la diagonale du carré unitaire (x2 = 2). Ce nombre irrationnel √ 2 était compris chez les Babyloniens entre 1,24 et 1,25 (système sexagésimal). Bien qu'ils adoptaient couramment la valeur approchée 1,25 (1,41666), ils connaissaient une valeur plus précise 1,24511061. Une telle précision nécessite des tables compliquées ou un procédé rigoureux de recherche. D'autres méthodes sont attestées chez les Grecs, les Hindous, les Arabes, les Byzantins et les Occidentaux de la première renaissance. Héron, dans ses Métriques, l'explique sur l'exemple de 720. Cette méthode se résume au problème suivant.
« Si a1 est la valeur approchée de √ A, Héron prend la seconde approximation ;
a2 = 1/2 (a1 + A/a1), puis la troisième s'il y a lieu ;
a3 = 1/2 (a2+ A/a2), le procédé pouvant évidemment se réitérer à l'infini. »
On notera justement chez les géomètres romains que les ratios 7/5 (a1) et 10/7 (a1) encadrent la valeur de √ 2 : 7/5 < √ 2 < 10/7, et plus exactement que leur moyenne arithmétique est la valeur la mieux approchée de √ 2.
a2 = 1/2 {7/5 + 2/(7/5)} = 1/2 (7/5 + 10/7) = 1,41429 ou 99/70
qui est, à la cinquième décimale près, la valeur de √ 2 (1,41421). C'est la seconde approximation de Héron.
En d'autres termes, les rapports 5/7 et 7/10 sont les premiers ratios d'approximation de √2, tandis que leur moyenne a2 est une valeur plus précise. Les angles correspondants sont très proches : 35,538°, 34,992° respectivement pour a1 (5/7 et 7/10), et 35,263° pour a2, à comparer à la valeur exacte 35,264° pour √2.
Méthodes d'orientation
Selon J. Le Gall :
« Les Agrimensores connaissaient neuf systèmes pour tracer les limites de centuriations. Cinq n'avaient rien à voir avec l'orientation solaire, ils avaient pour base : la mer, le relief, la plus grande longueur du territoire, une via consularis. Quatre autres systèmes étaient en rapport avec l'orientation solaire : orientation par visée sur le soleil à son lever, orientation par rapport au nord et au sud vrais... » 62.
Bien que cette étude ait été souvent considérée comme « fondamentale » et bien qu'elle s'inspire de la lecture des textes gromatiques, on y apportera les plus extrêmes réserves. On ne voit pas d'abord comment un géomètre peut s'orienter sur un rivage, un relief, une plus grande distance ou une voie consulaire et s'y maintenir63, puisque l'orientation de cet amer change dès qu'on se déplace. Ensuite, la démonstration de J. Le Gall repose sur le principe que seuls les cadastres orientés selon les points astronomiques fondamentaux (solstices ou équinoxes) ont une orientation solaire. Il rejette, donc, tous les autres. C'est oublier que les Romains connaissaient la géométrie et qu'il est toujours possible selon M. Guy de choisir un azimut donné – défini par rapport à un axe astronomique (le nord) – à partir d'un ratio de deux nombres entiers naturels64. La question de l'orientation astronomique ne devrait même pas se poser. Le cadastre est un cadre géographique basé sur les axes cardinaux de la Terre, et cette orientation solaire était recherchée par les Anciens selon deux méthodes :
- méthode de la sixième heure (le midi local),
- méthode du lever du soleil.
La technique du gnomon, du cadran ou du scaphé était connue depuis la Haute Antiquité ; elle est, aujourd'hui, bien documentée. On apportera, ici, seulement quelques précisions65.
Méthode de la sixième heure (le midi local)
Elle consiste à noter les deux passages de l'ombre du gnomon sur un cercle centré sur ce dernier. Le midi est alors donné, en principe, par la bissectrice (l'ombre la plus courte). Cette méthode est valide toute l'année, elle n'est exacte qu'aux solstices. En effet, l'erreur sur la détermination du nord géographique dépend :
- de la variation de la déclinaison solaire pendant la durée de traversée du cercle par l'ombre (1'/h aux équinoxes),
- de la latitude du point,
- de la durée que met l'ombre à traverser le cercle66.
Elle s'exprime pour l'équinoxe de printemps, par la relation :
Δα0 = A/ cos l *1/ sin c (D),
où Δα0 = erreur d'azimut (par rapport au Nord), elle est positive vers l'est ;
A = 3,8' ; l = latitude et sin c (D) = Sin D / D, avec D = demi-durée de traversée du cercle.
Par exemple, pour D = + - 6h, 1/ sin c (D) = 1,57.
à la latitude 35° (latitude moyenne de la centuriation tunisienne), pour D = + - 1h (durée recommandée par Vitruve), le « Nord » est trop à l'est de 4,8'. La déviation se situe vers l'est, au nœud ascendant (équinoxe de printemps) ou vers l'ouest au nœud descendant (équinoxe d'automne).
Tableau 5. Exemples d’erreur maximale commise sur l’orientation solaire selon la latitude pour quelques pays. Condition d’observation D = +/ - 2h aux équinoxes
Pays | Tunisie (centre) | Italie | Narbonnaise | Germanie | Bretagne (nord) |
Latitude (°) | 35° | 40° | 43° | 50° | 55° |
∆αo (') | 4,87' | 5,21' | 5,46' | 6,21' | 6,96' |
Figure 9. Erreur sur la détermination du nord géographique en fonction du jour de l’année

Pour une date quelconque dans l'année, on a approximativement :
Δα = Δα0 * co θ, avec θ =~ T - 80 (°) et T le numéro du jour dans l'année.
R. d'Hollander montre qu'il existe un écart de 5'5 environ 67 entre le calcul moderne et les tables de Ptolémée, dans la détermination de l'ombre méridienne du gnomon au solstice d'hiver et à la latitude du Mi-Pont-Euxin68. Les opérations d'alignement à la groma entraînent, ipso facto, des erreurs non négligeables ; aussi des recalages périodiques sur le méridien sont-ils indispensables. Ces recalages conduisent dans le pire cas à une déviation locale de +/- 4,8', mais cette erreur est en général moyennée au cours des opérations. Nous avons vu que les finitores de la légion Augusta ont fait mieux en maintenant la direction (l'Est en l'occurrence) avec un écart de moins de 0,1' sur une courte distance (12 km).
Méthode du lever/coucher du soleil
Cette méthode est valable toute l'année, mais plus délicate. Elle n'est exacte et directe qu'aux seuls équinoxes. Ensuite, l'azimut de lever/coucher du soleil dépend fortement de la latitude du lieu et de la saison, et il est toujours possible de déterminer le Nord géographique à partir de tables ou d'abaques. Il n'empêche que la visée directe du lever du soleil aux solstices peut servir de direction astronomique de référence, ce qui semblerait presque le cas de la colonia Juniona à Carthage69. On admet que son locus gromae se situe sur la colline de Byrsa. C'est le même datum, c'est-à-dire le même observatoire astronomique qui a servi aux mesures modernes de triangulation. Cependant, il n'est pas nécessaire comme le suggèrent certains auteurs70, d'effectuer de longues et délicates mesures de nivellement (cultellatio) entre le sommet de Byrsa et la plaine. Il suffit simplement de prendre pour base d'arpentage un segment de droite dans la plaine de La Malga, de la même façon que les géodésiens français ont opéré quelque siècles plus tard dans la plaine de Tunis, le reste n'étant qu'une question de raisonnement. Pour toutes ces raisons, on peut estimer que la centuriation de la colonia Juniona est déterminée.
Figure 10. Schéma de principe d’orientation solaire d’un cadastre (ici pour le ratio 7/10)

Orientation des cadastres
La méridienne locale une fois déterminée, le géomètre oriente son premier limes selon l'azimut du cadastre. Il trace, pour cela, la diagonale par la méthode « pro hypotenusa », selon un ratio donné (ici, 7/10). L'angle d'orientation est alors de 35° (tg 35° = 7/10).
La question de l'orientation solaire ne se pose donc pas. La question essentielle est de savoir si les orientations (ou ratios) retenues sont quelconques. D'après M. Guy71, une forte récurrence apparaît, se rapportant à des fractions en cinquièmes (quintanus), telles que : 1/10, 1/5, 3/10, etc. Il proposait deux méthodes pour la construction de l'angle : la méthode de la corde (loi des sinus) et la méthode « pro hypotenusa » (loi des tangentes). Ce point est parfaitement conforté par la centuriation tunisienne. Cette analyse a été poursuivie sur son histogramme des orienta
